Física Matemática

Nesta aula apresento a disciplina de Física Matemática e sua importância para a modelagem matemática de sistemas físicos. Inicialmente meu foco está no estudo de equações diferenciais e métodos matemáticos para resolução destas. Destacarei aplicações de equações diferenciais para a modelagem de sistemas físicos. Na sequência, eu mudo o foco para o estudo da álgebra linear, onde destaco aplicações em ciência e tecnologia. Meu objetivo é abrir uma porta a modelagem de sistemas complexos. Uma formação matemática profunda e abrangente permitirá aos futuros cientistas uma visão crítica para construção de modelos. Os métodos que ensinarei fornecerão a base matemática para enfrentar os desafios de entendermos a natureza e interpretá-la por meio de modelos. A visão de sistemas é condição sine qua non para construirmos modelos úteis para a interpretação de sistemas complexos. Destacando o aforismo do estatístico britânico George Box: “All models are wrong, some are useful.” (Referência: Box, George E. P. (1976), "Science and statistics" (PDF), Journal of the American Statistical Association, 71 (356): 791–799, doi:10.1080/01621459.1976.10480949).

Palavras-chave: Modelagem matemática; física matemática; física; equações diferenciais; equações diferenciais ordinárias; álgebra linear; modelagem de sistemas; sistemas complexos; sistemas dinâmicos; complexidade; sistemas biológicos; pesquisa científica; pesquisa interdisciplinar; interdisciplinaridade.

Aqui apresento os principais conceitos do método científico. Na minha visão, o ensino do método científico é negligenciado e desvalorizado no ensino superior no Brasil. Muitos professores delegam o seu ensino às disciplinas de humanas, onde boa parte dos que ensinam estão distantes da prática científica. Não abro mão de ensinar a todos meus estudantes os fundamentos do método científico. Ignorar o método científico gera negacionismo. Ou pior, a indiferença quanto ao negacionismo gera passividade, onde abrimos a porta para que os negacionistas tomem o poder. O negacionismo no poder leva ao terraplanismo, à negação da eficácia das vacinas e à desvalorização das conquistas da ciência e tecnologia. Vimos e vemos de forma constante o ataque à eficácia das vacinas e a relativização da verdade, onde dizem que a verdade científica é só mais uma das opiniões. A evolução não é uma opinião é um fato. O céu é azul não por vontade de uma criatura mística e sim pelo espalhamento Rayleigh. Ler horóscopo é compactuar com a pseudociência. Não é uma atitude ingênua e inofensiva. Um clique dado a um site de horóscopo gera lucro para grupos que enriquecem enganando. Horóscopo é mais uma porta de entrada dos negacionistas para se manterem ativos e remunerados propagando a pseudociência. Aqui também descrevo a composição de um artigo científico e apresento alguns índices de métricas científicas como o índice h e o quociente m. Discuto como a comunidade científica avalia o impacto da pesquisa por meio das métricas apresentadas. Apresento o trabalho de Ioannidis et al. (Ioannidis JPA, Boyack KW, Baas J. Updated science-wide author databases of standardized citation indicators. PLoS Biol. 2020 Oct 16;18(10):e3000918. doi: 10.1371/journal.pbio.3000918. PMID: 33064726; PMCID: PMC7567353) que estabelece métricas para avaliar o impacto da pesquisa científica em todas as áreas do conhecimento humano. Boa parte da pesquisa científica é mantida com recursos públicos. O uso eficiente dos recursos públicos deve levar a uma pesquisa científica de impacto e que gere retorno para a sociedade que a sustenta. Pesquisa científica sem impacto científico não é pesquisa é perpetuação da mediocridade.

Palavras-chave: Física; física matemática; pesquisa científica; pesquisa interdisciplinar; interdisciplinaridade; educar pela ciência

Nesta aula veremos as classificações de equações diferenciais. Essa informação será útil no direcionamento dos métodos que usaremos para resolução das equações diferenciais. Iremos fazer a resolução do sistema massa-mola onde resolveremos a por integração direta fazendo uso de substituição trigonométrica. Destaco uma aplicação do sistema massa-mola para estudar as interações intermoleculares envolvendo proteínas e fármacos.

Palavras-chave: Física; modelagem de sistemas; abstração; modelagem matemática; equação diferencial; equação diferencial linear; separação de variáveis; substituição trigonométrica; problema de valor inicial; valores de contorno; segunda lei de Newton; sistema massa-mola, aprendizado de máquina.

Um dos métodos usados para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem faz uso de uma função chamada fator integrante (ou fator de integração). Ao multiplicarmos ambos os lados de uma equação diferencial colocada na forma padrão, temos do lado esquerdo a derivada do produto. Assim, podemos resolver ambos os lados da equação diferencial por integração direta. Nesta aula veremos o uso desse método para uma aplicação física: a solução da equação diferencial que descreve um circuito RL com uma fonte de corrente alternada.

Palavras-chave: Física; modelagem de sistemas; abstração; modelagem matemática; equação diferencial; equação diferencial linear; fator integrante; forma padrão; problema de valor inicial; circuito RL; indutância; resistência; Lei de Kirchoff; corrente alternada; impedância; fase.

No dia 04 de outubro de 1957 a humanidade pela primeira vez colocou em órbita um satélite artificial: o Sputnik. Essa conquista só foi possível graças ao trabalho pioneiro do físico Konstantin Tsiolkovski. A equação do foguete de Tsiolkovski foi inicialmente publicada em 1903 (Tsiolkovsky, Konstantin E. (1903), «The Exploration of Cosmic Space by Means of Reaction Devices (Исследование мировых пространств реактивными приборами)», The Science Review (em russo)) e estabelece um modelo matemático para um foguete ideal. O lançamento do Sputnik deu início à corrida espacial entre os Estados Unidos e a antiga União Soviética, que culminou com o pouso na Lua do astronauta Neil Armstrong em 20 de julho de 1969. Nesta aula apresento a modelagem matemática do movimento do foguete. Na análise do movimento, considero a conservação do momento linear do sistema para chegar a uma equação diferencial ordinária da velocidade em função da variação da massa do foguete. Destaco a visão holística da abordagem de sistemas, onde modelamos o movimento do foguete analisando-o como um sistema isolado, onde as forças externas são nulas e a massa do sistema é constante. Eu apresento dois exemplos de aplicação da equação do foguete. Um deles é uma aplicação direta a um foguete hipotético de um estágio. No segundo exemplo calculo a velocidade atingida pelo foguete Atlas V 551 para levar a sonda New Horizons até Plutão. Clique aqui e veja por onde anda a sonda New Horizons.

Palavras-chave: Modelagem matemática; física matemática; física; equações diferenciais; equações diferenciais ordinárias; momento linear; conservação do momento linear; sistema de massa variável; velocidade relativa; equação diferencial; primeira equação do foguete; segunda equação do foguete; Konstantin Tsiolkovski; Sputnik.

Equações diferenciais são fundamentais para a modelagem de sistemas físicos. Boa parte dos sistemas físicos são passíveis de modelagem por meio de equações diferenciais. Eu mostrarei aqui como usar a abordagem de sistemas para gerarmos modelos matemáticos de sistemas físicos. Meu foco está nas aplicações físicas, mas a abordagem discutida é de uso geral, podendo ser usada para modelar qualquer sistema (e.g., sistemas biológicos). Para ilustrar uma aplicação física, eu irei analisar o problema da queda de um paraquedista, onde considero a presença da resistência do ar no sistema a ser modelado. Mostrarei que a modelagem matemática leva a uma equação diferencial ordinária. A resolução da equação diferencial gera um modelo matemático que prevê que o paraquedista atinge uma velocidade terminal.

Palavras-chave: Física; modelagem de sistemas; abstração; modelagem matemática; equação diferencial; equação diferencial linear; separação de variáveis; problema de valor inicial; segunda lei de Newton; força de arrasto; paraquedista; velocidade terminal.

Nesta aula iremos modelar o voo do foguete Aerobee 350. A família de foguetes Aerobee foi usada entre as décadas de 1940 e 1980 para voos suborbitais. O foguete Aerobee 350 podia atingir a altura de até 450 km e levar uma carga útil de até 227 kg (http://www.astronautix.com/a/aerobee350.html). A modelagem do voo de um foguete objetiva ter um recurso (e.g., equação diferencial) para prever a performance e comportamento do foguete em condições de voo. Mesmo o uso de situações ideias, como quando usam a equação do foguete de Tsiolkovski, a modelagem matemática é útil para prever o quanto o comportamento real do sistema diverge de uma situação ideal. Na modelagem do voo do Aerobee 350, iremos considerar que a força aerodinâmica de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade. Usaremos dados experimentais sobre o Aerobee 350 para determinarmos a velocidade atingida no início do voo, quando está acionado o primeiro estágio do foguete. Aplicaremos o método da separação de variáveis para a resolução da equação diferencial que modela o voo. Além da modelagem do voo, apresentaremos a biblioteca SymPy para resolução de equação diferenciais. O uso de recursos de computação algébrica é uma ferramenta fundamental para o estudo de modelagem de sistemas complexos.

Palavras-chave: Física; modelagem de sistemas; abstração; modelagem matemática; equação diferencial; equação diferencial linear; equações separáveis; problema de valor inicial; integração direta; frações parciais; funções hiperbólicas; tangente hiperbólica; força de arrasto; densidade de massa da atmosfera; área de corte do foguete; coeficiente de arrasto; Aerobee; computação algébrica; Python; SymPy.

Radiações têm papel bem conhecido para geração de imagens médicas, sendo a radiação X a mais utilizada. Nesta videaula de hoje veremos como podemos produzir raios X para diagnóstico e pesquisa básica sobre macromoléculas biológicas. Descreveremos a forma convencional de produção de raios X por meio de um tubo de raios X e através de um equipamento chamado sincrotron. Este usa um acelerador de partículas para a geração de radiação. Destacaremos as aplicações no estudo de possíveis fármacos.

Palavras-chave: Física Computacional; física; biofísica, moléculas; biologia; biotecnologia; nanotecnologia; proteínas; raios X; produção de raios X; cristalografia; síncrotron; radiação síncrotron; Laboratório Nacional de Luz síncrotron; Laboratório Sirius; desenvolvimento de fármacos.